Készítette: Nagyné Dr. Kondor Rita
1. feladat
Szerkesztendő a K1-en álló ferde hasáb és egy K1-gyel párhuzamos élű hasáb áthatása.
Megoldás
A K1 képsíkon álló ferde hasáb oldalélei: 1, 2 és 3 egyenesek. A K1 képsíkkal párhuzamos oldalélű (főegyenes élű) hasáb oldalélei: a, b és c egyenesek.
Az abc hasáb oldallapjai egy képsíktranszformáció után vetítő helyzetűek lesznek, ezért a 4. képen azonnal láthatók az 123 hasáb éleivel való metszéspontok. A képsíktranszformáció x1,4 tengelye merőleges a főegyenes élű hasáb oldaléleinek első képeire.
A 4. képen jól látható – ahol a hasáb vetítő helyzetű –, hogy bemetsző áthatás keletkezik, azaz az áthatás vonala egy térbeli sokszögből áll, továbbá látható e vetületen az is, hogy a K1 képsíkkal párhuzamos oldalélű hasáb élei közül az a oldalél, a másik hasáb oldalélei közül pedig a 3 oldalélnem vesz részt az áthatásban.
Az 123 oldalélű hasáb 1 és 2 oldalélén két-két metszéspont keletkezik, melyeket az ábrán I"", II"", III"" és IV"" pontokkal jelöltünk. Rendezők segítségével szerkesszük meg e pontok első, majd második képeit! A hasáb b és c éle metszi a másik hasáb lapjait; ezzel két-két újabb áthatási pont keletkezik: a V, VI és a VII, VIII pontok.
Az V, VI, VII és VIII pontok megszerkesztéséhez egy-egy segédsíkot használunk. E síkok tartalmazzák a b, majd a c oldalélet, továbbá párhuzamosak az 123 hasáb alaplapjával. E segédsíkokkal képzett síkmetszet és a b', majd a c' egyenes metszéspontjai az első képen az V', VI' és VII', VIII' pontok. E pontok második képét rendezők segítségével szerkesztjük meg.
A pontok összekötési sorrendjéhez egy segédábrát készítünk, amelyben a vízszintes vonalak a K1-en álló hasáb, a függőleges vonalak a K1 képsíkkal párhuzamos oldalélű hasáb oldaléleit jelölik. Két szomszédos vonal között mindig egy-egy lapot jelenítünk meg.
| I. | 1 élen, a és b között |
| II. | 1 élen, a és b között |
| III. | 2 élen, a és c között |
| IV. | 3 élen, b és c között |
| V. | c élen, 1 és 3 között |
| VI. | c élen, 1 és 2 között |
| VII. | b élen, 1 és 3 között |
| VIII. | b élen, 2 és 3 között van |
Csak azok a pontok köthetőek össze, amelyek a segédábrán ugyanannak a kis négyzetnek az oldalain vannak. A kapott pontokat összekötve egy térbeli sokszöget kapunk.
Ezek alapján az összekötés sorrendje
- VI - IV - VIII - III - I - VII - V - II - VI
- VI - IV - VIII - III - I - VII - V - II - VI
A K1 képsíkon álló hasáb láthatóságát a másik hasáb (abc oldalélű hasáb) eltávolítása után határozzuk meg. Az áthatás vonalából a K1 képsíkon álló hasáb látható lapjain (a második képen 12 és 23 lapok) keletkezett szakaszok egyértelműen látszanak. Az V"VII" szakasz egy része is látható a hátsó lapról (a második képen az 13 lap), mert az áthatás során keletkező lyukon átlátunk. Az első képen ugyanilyen okból látható az V'VII' szakasz egy része, továbbá az I'VII', VII'VIII' és VIII'III' szakaszok.
2. feladat
Szerkesztendő a K1-en álló gúla és K2-n álló, vetítő helyzetű hasáb áthatása.
Megoldás
Az ABCDM gúla a K1 képsíkon áll. A hasáb vetítő helyzetű (azaz oldalélei merőlegesek a K2 képsíkra), oldalélei: a, b, c, d egyenesek. A 2. képen jól látható – ahol a hasáb vetítő helyzetű –, hogy jelen esetben bemetsző áthatás keletkezik (az áthatás vonala egy térbeli sokszögből áll), továbbá látható e vetületen az is, hogy a gúla AM oldaléle és a hasáb c oldaléle nem vesz részt az áthatásban. A 2. képen azonnal láthatók a gúla oldaléleivel való metszéspontok. A gúla BM, CM és DM oldalélein két-két metszéspont keletkezik, melyeket azábrán I", II", III", IV", V" és VI" pontokkal jelöltünk. Rendezők segítségével szerkesszük meg e pontok első képeit! A hasáb a, b és d éle metszi a gúla lapjait; ezzel élenként két újabb áthatási pont keletkezik: VII, VIII, IX, X, XI és XII pontok. E hat pont megszerkesztéséhez három segédsíkot használunk. E síkok tartalmazzák az a, b illetve d oldalélet, továbbá párhuzamosak a gúla alaplapjával. E segédsíkok metszik az első képen az a', b' illetve d' egyeneseket a VII', VIII', IX', X', XI' és XII' pontokban. E pontok második képét rendezők segítségével szerkesztjük meg.
Az így kapott pontok összekötési sorrendjéhez egy segédábrát készítünk, melyben a vízszintes vonalak a hasáb, a függőleges vonalak a gúla oldaléleit jelölik. Két szomszédos vonal között pedig egy-egy lapot jelenítünk meg.
| I. | DM élen, a és b között | VII. | b élen, BM és CM között |
| II. | DM élen, a és d között | VIII. | b élen, CM és DM között |
| III. | BM élen, a és b között | IX. | a élen, AM és BM között |
| IV. | BM élen, c és d között | X. | a élen, AM és DM között |
| V. | CM élen, c és b között | XI. | d élen, AM és BM között |
| VI. | CM élen, c és d között | XII. | d élen, CM és DM között van |
Csak azok a pontok köthetőek össze, amelyek a segédábrán ugyanannak a kis négyzetnek az oldalain vannak. A kapott pontokat összekötve egy térbeli sokszöget kapunk.
Ezek alapján az összekötés sorrendje
- I - VIII - V - VII - III - IX - XI - IV - VI - XII - II - X - I
A gúla láthatóságát a hasáb eltávolítása után határozzuk meg.
Az áthatás vonalából a gúla látható lapjain (a második képen ABM és BCM lapok) keletkezett szakaszok egyértelműen látszanak. Az első képen a gúla alaplapja nem látszik, a többi lapja látszik, így az összes áthatási pont is, továbbá a gúla belsejének egy része is látszik.
3. feladat
Szerkesztendő az ABCDM négyzet alapú gúla és 123 háromszöggel adott sík metszete.
Megoldás
Szerkesszük meg az ABCDM gúla negyedik képét! Az x1,4 tengely legyen merőleges az 123 sík f1 fővonalának első képére, hiszen egy ilyen transzformáció esetén a negyedik képen az 123 síkot egy egyenesben látjuk. Szerkesszük meg az ABCDM gúla negyedik képét! A síklappal való metszéspontokat úgy határozzuk meg, mintha a teljes síkkal metszenénk a gúlát. A negyedik képen jól láthatóak a gúla és a sík metszéspontjai, továbbá az is látszik, hogy a sík a gúla alaplapját is metszi egy szakaszban. E metszéspontokat az ábrán I"", II"", III"", IV"" és V"" pontokkal jelöljük. Rendezők segítségével szerkesszük meg e metszéspontok első, majd második képét is. Kössük össze a metszéspontokat! A metszéspontokat a test csatlakozó lapjait bejárva kell összekötnünk, így kapunk egy sokszöget a test felületén. Határozzuk meg a láthatóságot fedő pontpárok segítségével! Az első képen csak a gúla alaplapját látjuk, a gúla többi lapja fedésben van. A síklap nem vágja ketté a gúlát, csak belevág. A második képen a gúla ABM és BCM lapjának azt a részét láthatjuk, amelyet a síklap nem fed (az 123 síklap takarja az AM, BM és CM élek középső részét).
4. feladat
Szerkesztendő egy K1 képsíkon álló, szabályos háromszög alapú ABCM gúla 123 síkkal alkotott metszete.
Megoldás
Egy képsík transzformációt alkalmazva az általános helyzetű 123 síkot vetítősíkká transzformáljuk. Ezt a transzformációt csupán az 123 sík határozza meg. A sík egy első fővonalára legyen merőleges az x1,4 tengely, így a negyedik képen az 123 síkot egy egyenesben látjuk. Szerkesszük meg az ABCM gúla negyedik képét! A negyedik képen jól láthatóak a gúla és a sík metszéspontjai, továbbá az is látszik, hogy a sík a gúla minden oldalélét metszi egy-egy pontban. E metszéspontokat az ábrán I"", II"" és III"" pontokkal jelöljük. Rendezők segítségével szerkesszük meg e metszéspontok első, majd második képét is. Mivel MC oldalél a második képen merőleges az x1,2 tengelyre, az MC-n lévő III" pont szerkesztéséhez egy segédvonalra felmérjük az első képről az M'C' és M'III' távolságokat, majd C'C"-vel III'-n párhuzamost húzva az M"C" élen kapjuk III"-t. A metszéspontokat a test csatlakozó lapjait bejárva kell összekötnünk, így kapunk egy sokszöget a test felületén. Határozzuk meg a láthatóságot fedő pontpárok segítségével! A síklap nem vágja ketté a gúlát, csak belevág. Az első képen a gúla oldallapjait látjuk, az 123 síklap takarja az AM és BM élek középső részét. A második képen a gúla ABM lapjának azt a részét láthatjuk, amelyet a síklap nem fed.
5. feladat
Szerkesztendő egy szabályos hatszög alapú egyenes gúla és az ABC háromszöggel adott síklemez metszete.
Megoldás
Egy képsík transzformációt alkalmazva az általános helyzetű ABC síkot vetítősíkká transzformáljuk. Ezt a transzformációt csupán az ABC sík határozza meg. A sík egy első fővonalára legyen merőleges az x1,4 tengely, így a negyedik képen a síkot egy egyenesben látjuk. Szerkesszük meg az 123456M gúla negyedik képét! A negyedik képen jól láthatóak a gúla és a sík metszéspontjai, továbbá az is látszik, hogy a sík a gúla minden oldalélét metszi egy-egy pontban. E metszéspontokat az ábrán I"", II"", III"", IV"", V"" és VI"" pontokkal jelöljük. Rendezők segítségével szerkesszük meg e metszéspontok első, majd második képét is. A metszéspontokat a gúla csatlakozó lapjait körbejárva kötjük össze, így kapunk egy sokszöget a test felületén. Határozzuk meg a láthatóságot fedő pontpárok segítségével! A síklap nem vágja ketté a gúlát, csak belevág. Az első képen a gúla oldallapjait látjuk, az ABC síklap takarja az 1M, 2M, 3M és 6M élek középső részét. A második képen a gúla 1M, 6M élének azt a részét láthatjuk, amelyet a síklap nem fed. Az 5"M" és 4"M" éleknek a síklappal nincs közös részük, ezen élek végig láthatók.
Az animációkat készítette: Nagyné Dr. Kondor Rita
Az animációk elkészítését az EFOP-3.4.4-16-2017-00023 számú projekt támogatta.
A projekt az Európai Unió támogatásával,
az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.