Készítette: Dr. Kézi Csaba Gábor
1. példa
Egy cég feljegyezte, hogy hogyan alakult a bevétele termelt mennyiség függvényében. Ezer darab termék gyártása esetén 19, a kétezer darab termék gyártása esetén 36, tízezer darab termék gyártása esetén 100 millió forintos bevétele volt. Ha a bevételi függvényt másodfokú polinom függvénnyel modellezzük, akkor adjuk meg a bevételi függvény leképzési szabályát a termelt mennyiség függvényében! A GeoGebra programban a GörbeillesztésPolinom parancs segítségével az (1,19), (2,36) és (10,100) pontok felvételét követően kirajzoltathatjuk a keresett függvényt, illetve megkapjuk a függvény leképzési szabályát.
Tegyük fel, hogy ismerjük azt is, hogy 4 millió forint a fixköltség, ami a gyártósor megvásárlását jelenti. Ha ezer darab termék gyártása estén 32 millió forint a költség és a költséget elsőfokú függvénnyel modellezzük, adjuk meg a költség függvény leképezési szabályát! Szintén a GörbeillesztésPolinom parancs segítségével a (0,4) és (1,32) pontok elsőfokú polinom függvény illesztünk. A GeoGebra programban a GörbeillesztésPolinom parancs segítségével a (0,4), (1,32) pontok felvételét követően kirajzoltathatjuk a keresett függvényt, illetve megkapjuk a függvény leképzési szabályát.
A két ábrázolt függvény grafikonja metszéspontjából megkapjuk a fedezeti pontot, amely az a termelési szint, amikor a nyereség zérus, tehát amikor a bevétel és a költség egyenlő.
A keresett pontokat a Metszéspont nevű parancs segítségével határozhatjuk meg. Leolvashatjuk, hogy 2 ezer és 14 ezer darab termék gyártása esetén lesz a bevétel és a költség egyenlő, azaz ekkor lesz a nyereségünk zérus.
Ezt követően előállítjuk a profit (nyereség) függvény, amelyet a bevételi és költség függvénykülönbsége ad meg. A Függvény parancs segítségével ábrázoljuk a nyereség függvényt. A Maximum parancs felhasználásával megadjuk a nyereség függvény maximumát. Azt kaptuk, hogy 8 ezer darab termék gyártása esetén lesz maximális a nyereség, és ekkor a nyereség 36 millió forint.
2. példa
Egy cég bevételét a termelt mennyiség függvényében a B(x)=x·√(2300-0,2·x) függvény adja meg, ahol a termelt mennyiséget darabban, a bevételt ezer forintban értjük. A célunk annak meghatározása, hogy hány darab termék gyártása esetén lesz a bevételünk maximális. A függvény értelmezési tartománya a [0;6000] intervallum. A megoldás során első lépésben ábrázoljuk a B(x) függvényt a GeoGebra segítségével. Ezt a Függvény(B(x)=x*\sqrt(2300-0.2*x),0,6000) parancs beírásávál tehetjük meg.
A Maximum(B(x),0,6000) parancs segítségével megkapjuk a B(x) függvény szélsőértékét. Azt kapjuk, hogy a szélsőérték (4000,80000). Ez azt jelenti, hogy 4000 darab termék gyártása esetén lesz maximális a bevétel és ekkor a maximális bevétel (80000·1000=) 80 millió forint.
A feladat szempontjából fontos, hogy az értelmezési tartomány megállapítása kulcsfontosságú szerepet játszik, hiszen egyrészt negatív darabszámot nem értelmezünk, másrészt pedig a termelést nem tudjuk minden határon túl folytatni, hiszen a rendelkezésre álló eszközök, alapanyagok miatt a gyártott termékek mennyiségének létezik felső korlátja.
3. példa
Egy piac inverz keresleti függvénye: P(q) = 480-10q2
ahol q a termelt mennyiséget jelenti ezer darabban, p pedig a termék egységárát jelenti ezer forintban a termelt mennyiség függvényében.
Ekkor a teljes bevételi függvény: R(q) = q·P(q) = 480q-10q3.
A határbevételi függvény: MR(q) = R'(q) = 480-30q2.
A bevételi függvény maximumát az R'(q)=0 egyenlet megoldása adja.
Geogebrában a Függvény(480*x-10*x^3,0,8) parancs segítségével ábrázolhatjuk a teljes bevételi függvényt.
A Maximum(R(x),0,8) parancs segítségével megkapjuk az R(x) függvény szélsőértékét.
Azt kapjuk, hogy a szélsőérték (4,1280). Ez azt jelenti, hogy 4000 darab termék gyártása esetén lesz maximális a bevétel és ekkor a maximális bevétel (1280·1000=) 1 millió 280 ezer forint.
A bevételi függvény maximumához tartozó ár: P(4)=480-10·42=480-160=320.
4. példa
Egy vállalat adott termékéhez tartozó határbevételi függvénye: MR(q)=2000-20q-3q2.
A termelt mennyiséget darabban, a bevételt ezer forintban értjük. Adjuk meg a bevételi függvényt!
A határbevételi függvény primitív azon R(q) primitív függvényét keressük, amelyre R(0)=0, hiszen ha 0 darab terméket termelünk, akkor a bevételünk is 0.
Geogebrában az Integral(2000-20*x-3*x^2) parancs segítségével végezhetjük el a primitív függvény keresést és ábrázolhatjuk az R(q) függvényt.
A bevételi függvény: R(q)=2000q-10q2-q3.
5. példa
Egy 6 dm oldalú, négyzet alakú kartonpapír sarkaiból négyzetek vágunk le, majd a keletkezett oldalakat felhajtjuk úgy, hogy négyzet alapú hasáb alakú dobozt kapjunk. Jelöljük x-szel a levágott négyzetek oldalait.
a) Adjuk meg a keletkezett test térfogatát az x függvényében!
b) Az előbbi függvénynek határozzuk meg az értelmezési tartományát!
c) Ábrázoljuk GeoGebrában a függvényt!
d) Adjuk meg azt az x értéket, amikor a térfogat 11,83 dm3.
e) Lehet-e a térfogat 20 dm3?
f) Mekkora a térfogat, ha 0,5 dm oldalú négyzeteket vágunk le?
g) Milyen x érték esetén lesz a doboz térfogata a legnagyobb, azaz mekkora oldalú négyzeteket vágjunk le a négyzet alakú kartonpapír sarkaiból ahhoz, hogy a keletkezett négyzet alapú hasáb alakú doboz térfogata a lehető legnagyobb legyen?
h) Adjuk meg a maximális térfogatot!
Az animációkat készítette: Dr. Kézi Csaba Gábor
Az animációk elkészítését az EFOP-3.4.4-16-2017-00023 számú projekt támogatta.
A projekt az Európai Unió támogatásával,
az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.